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考清华和中500万哪个难?

永乐老师 李永乐老师 2020-11-08

有人说他一生有两大理想:考上清华大学,中500万大奖。对大多数人来说,这两件事都不容易。但是大家有没有想过这两件事哪件更难呢?

去年高考前,我做了一期视频《考清华和中500万哪个难?》,从概率角度讨论了这个问题。如今,又到高考季,我把这个视频再分享一次,祝每个考生信心满满的走入考场。


1中500万的概率

买彩票中500万的概率有多大?

比如我们买一注双色球,需要在在33个红球中选择6个,在16个蓝色球中选一个,如果这七个球与开奖的结果完全相同,就能赢得500万现金大奖了!

利用组合数的知识可以知道:在33个红球中选出6个,方法数有

再在16个蓝球中选1个,方法数有16种。所以一共的选法数有

大约1772万种方法。因此买一注彩票,中500万大奖的概率大约是1772万分之一!

2考清华的概率

那么,考清华呢?

以2017年为例,全国考生842万,而清华大学只招3000人。如果全国所有考生都报名清华大学,清华大学采取抽签方式决定录取,那么我们用录取人数除以全国考生数,就得到录取概率了

大约是万分之3.6。每一万名考生中只有3到4名同学能够被录取,真是万里挑一!

不过我们仔细比较就会发现:中五百万的概率是1772万分之一,而考上清华是万分之三点六,考上清华的概率是中500万大奖概率的5000倍!考上清华比中500万容易5000倍!

大佬的坐姿

也许有人说:你算错了,因为高考是分省录取的,有的省考生多,名额少,所以会更难!

我们不妨来看看高考大省——河南省。 2017年河南省考生83万,清华大学录取100人,录取率

也就是万分之一点二。每1万名考生录取1.2人。这虽然比全国平均录取率低了不少,但是仍然是中500万大奖概率的2000倍!

所以说:考上清华的学生长什么样见过,中五百万的人长啥样从来没见过。


3正态分布

以上的模型非常粗糙,因为清华大学并不是抽签决定录取的,而是要看考试成绩。于是有同学会说,我从小学习就不好,就算把3000个名额都投到我们省我也考不上啊!

统计学告诉你,其实不!一!定!

在统计学上有一个著名的实验:高尔顿钉板实验。

英国生物统计学家高尔顿提出了高尔顿钉板实验。在一个漏斗中装有一些小球,漏斗下方有一些水平钉子,小球碰到钉子就会随机反弹。经过一次次碰撞,小球最终掉落到下方的竖直槽中。

高尔顿钉板

如果只下落一个小球,那么小球掉落在哪个槽中是随机的。但是如果一次次让小球下落,或者一次性释放许多小球,就会发现中央的小球多,两侧的小球少。球的数量满足一种规律。

不仅仅是高尔顿钉板,人们发现只要一个结果是由许多随即量影响的,那么这个结果就会满足这种“中间多,两头少”的规律。例如一个年龄段某地区男性的身高就近似满足正态分布。

某地区成年男性身高分布

被誉为数学王子的德国数学家高斯对正态分布理论有重大贡献,因此人们也把正态分布称为高斯分布。以前的德国十马克货币上就印有高斯和他的正态分布曲线。

10马克钞票

我们来介绍一下正态分布曲线。

正态分布的横坐标表示随机量取值,纵坐标表示概率密度。例如刚才讨论的人的身高分布,横坐标就表示身高,在130cm-200cm之间。纵坐标是在一个身高范围内的人数占总人数的比例,比如在130-135cm范围内,有5%的人,那么该处的纵坐标就是0.05。

在这种规定下,曲线下方的一小块面积就表示一个范围内身高人数占总人数的比例。显而易见,整条曲线下方的面积为1。

正态分布曲线

在这条曲线上,最高的部位刚好在曲线中间,称为期望μ。而曲线的宽窄用标准差σ表示。σ越大,则线条越矮胖;σ越小,则线条越瘦高。

不同标准差下的正态分布曲线

高斯等数学家经过计算发现:满足正态分布的随机量,最后取值在μ-σ到μ+σ之间的概率大约是68.2%,在μ-2σ到μ+2σ之间的概率大约是95%等。

用标准差划分的随机变量概率区间


4用正态分布预测高考成绩

一个人的考试成绩也受到多种因素的影响。

比如自己学习成绩高低、考试那天的身体状态、题目的难易程度,甚至是考场上的风吹草动。所以考试成绩并不是确定的,而会有波动和起伏。如果我们认为这些因素都是随机不可预测的,那么最终的考生成绩也会满足正态分布。

学习好的同学成绩的数学期望μ比较高,成绩稳定的同学成绩的标准差σ比较小。虽然我们不知道自己最终成绩如何,但是可以通过正态分布假设可以计算出自己成绩在各个区间的概率,从而推测自己是不是能考上清华。

例如:小明同学在高三参加了四次模拟考试,成绩分别是580,600,680和620。而清华的分数线为690分,这名同学有多大概率考上清华呢?

我们假设这位同学的成绩满足正态分布,根据数据计算出他的平均分和标准差。

平均分公式:

标准差公式:

所以,清华的分数线比这位同学的平均分高了

画出正态分布曲线,在μ+1.87σ右侧部分的面积就是他考上清华的概率。这个概率可以通过查表获得。

这个表表示x的取值小于某值时出现的概率。例如表格中0.9693这个数据横坐标1.8,纵坐标0.07,就表示x的取值x<μ+1.87σ的概率为0.9693,因此小明考上清华的概率(x>μ+1.87σ)为1-0.9693=0.0307,大约为3%。

看到了吗?即便一个同学每次考试平均分只有620,他依然有3%的概率在高考中考到690分清华的分数线!


高考在即,李老师祝大家考试顺利,都能够考出μ+2σ以上的成绩,考上自己理想的大学。2019,高考加油!

 


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李永乐老师:

北京大学物理与经济双学士,清华大学电子工程硕士;北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年,培养清华北大学生200余人,国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。





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